By Singer I.

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Solid-Phase Peptide Synthesis

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Sont ab´eliennes, mais on prendra garde qu’en g´en´eral le foncteur W n’est pas exact, ni `a gauche ni `a droite. 2. — (39) Soit F un G-OS -module. Le sous-faisceau des invariants F G est d´efini comme suit : pour tout ouvert U de S, F G (U) = W(F )G (U) = {x ∈ F (U) | g · xS = xS f pour tout S − → U, g ∈ G(S )}, o` u xS d´esigne l’image de x dans Γ(S , f ∗ (F )) = Γ(U, f∗ f ∗ (F )). On prendra garde que le morphisme naturel W(F G ) → W(F )G n’est pas un isomorphisme en g´en´eral. Par exemple, si S = Spec(Z) et G est le groupe constant Z/2Z = {1, τ } agissant sur F = OS par τ · 1 = −1, on a F G = 0 mais, si R est une F2 -alg`ebre, W(F )G (Spec(R)) = R.

1. Pour tout OS -module quasicoh´erent E , notons π∗G π ∗ (E ) le sous-OS -module de π∗ π ∗ (E ) dont les sections sur tout ouvert V de S sont les γ ∈ Γ(π −1 (V), π ∗ (E )) tels que g · γS = γS pour tout S → V et g ∈ G(S ). Alors le morphisme naturel E → π∗G π ∗ (E ) est un isomorphisme : ceci est imm´ediat si π∗ π ∗ (E ) = E ⊗OS π∗ (OG ) (par exemple si G → S est affine, ou si G → S est quasi-compact et quasi-s´epar´e et E plat), et cela se v´erifie sans difficult´es dans le cas g´en´eral. 4. — Soient S un sch´ema, H un S-sch´ema en groupes op´erant sur un S-sch´ema X, F un OX -module.

1, § 3], `a ceci pr`es que dans loc. cit. Mumford consid`ere un OX -module localement libre de rang fini E , et d´efinit une action de G sur V(E ) = W(E ∨ ). En effet, le diagramme ( ) pr´ec´edent, avec θ remplac´e par φ et le sens des fl`eches renvers´e, est exactement celui qu’on trouve dans loc. , Def. 6, et l’isomorphisme t φ ci-dessus co¨ıncide avec l’isomorphisme Φ de loc. , p. 31. 4. — Consid´erons en particulier le cas o` u X = S, muni de l’action triviale de G. Dans ce cas, un OS -module G-´equivariant F est la mˆeme chose qu’un G-OS -module (cf.

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