By Dorothy Buck and Erica Flapan, Dorothy Buck, Erica Flapan

During the last 20-30 years, knot thought has rekindled its old ties with biology, chemistry, and physics as a way of constructing extra subtle descriptions of the entanglements and homes of traditional phenomena--from strings to natural compounds to DNA. This quantity is predicated at the 2008 AMS brief path, purposes of Knot thought. the purpose of the quick direction and this quantity, whereas now not overlaying all features of utilized knot concept, is to supply the reader with a mathematical appetizer, with the intention to stimulate the mathematical urge for food for additional research of this interesting box. No past wisdom of topology, biology, chemistry, or physics is believed. specifically, the 1st 3 chapters of this quantity introduce the reader to knot idea (by Colin Adams), topological chirality and molecular symmetry (by Erica Flapan), and DNA topology (by Dorothy Buck). the second one half this quantity is targeted on 3 specific purposes of knot conception. Louis Kauffman discusses functions of knot idea to physics, Nadrian Seeman discusses how topology is utilized in DNA nanotechnology, and Jonathan Simon discusses the statistical and full of life houses of knots and their relation to molecular biology.

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R2 . R2, ' tg {} = lR2 -e2 ----' ede --=--=== tg 11 = ds \)R2-e2 (! und daraus nach geeigneter Wahl des Kurvenpunktes s = 0 (142) oder (143) s = tgßVR 2 -__:__ (! = VR 2 - ei s 2 ctg 2ß. Für den Normalriß (§ 15) unserer Böschungslinie folgt nach (139) und (141) (144) Q = VR 2 sin4 ß- s 2 cos 2 J. Nach § 13 (123) sind diese Normalrisse also Epizykloiden. In der Fig. 5 wird dieser Zusammenhang zwischen sphärischen Böschungslinien und ebenen Radlinien in Auf- und Grundriß verdeutlicht. Der Grundriß ist dabei doppelt zu durchlaufen.

E~2 -tcg~3 • Es gibt also eine einzige ebene Evolute (c = 0) einer ebenen Kurve. ') feste Neigung haben. 2H Kurventheorie. § 19. Isotrope Kurven. Es ist, selbst wenn man nur geometrisch anschauliche Ergebnisse herleiten will, doch zweckmäßig, gelegentlich auch imaginäre Kurven zu betrachten, also die Funktionen xk (t) als komplexe analytische Funktionen der komplexen Veränderlichen t = u i v mit gemeinsamem Existenzgebiet vorauszusetzen. Für diese imaginären Kurven, die, wenn wir "reelle Dimensionen" zählen, Träger von zweifach unendlich vielen Punkten sind, da die Kurvenpunkte von zwei reellen Parametern u, v abhängen, ist die hier vorgetragene Theorie im großen und ganzen anwendbar; nur treten gewisse Ausnahmefälle auf.

6 Bedenken hat, kann sich leicht eine analytische, etwas verwickeltere Funktion herstellen, die dasselbe leistet. , d. h. die Kurve muß ein Kreis sein 1 ). Hier bleibt also eine Existenzfrage offen. Ferner kann man den isoperimetrischen Satz noch in sehr verschiedenem Umfang beweisen, je nach den Voraussetzungen, die man über ·die zur Auswahl zugelassenen Kurven macht 2). § 26. Beweis von Orone und Frobenius 3 ). Wenn die Kreislinie wirklich die isoperimetrische Eigenschaft hat, so kann man diese Tatsache folgendermaßen fassen.

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