By Susanne Danz

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I Somit ist die angegebene Multiplikation auf R/I wohldefiniert. Nachrechnen: (R/I, ·) ist ein Monoid mit Einselement 1R + I, und es gelten die Distributivgesetze in (R/I, +, ·). (ii)⇒(iii): Wir setzen S := R/I und betrachten den kanonischen Epimorphismus ϕ := ν : R → R/I, r → r + I. 15(b) ist dies ein surjektiver Gruppenhomomorphismus von (R, +) auf (S, +), und es ist Ker(ν) = I. Ferner gilt f¨ur alle a, b ∈ R: (ii) ν(ab) = ab + I = (a + I)(b + I) = ν(a)ν(b) , so dass ν in der Tat ein Ringepimorphismus ist.

K) , falls ai ≡ aj (mod dij ) f¨ur alle i, j = 1, . . , k . Wir verzichten hier auf den Beweis des Satzes. Die Idee ist, mit Induktion nach k zu argumentieren. 1 und benutzt, dass man d12 mittels des Euklidischen Algorithmus’ als Linearkombination von m1 und m2 schreiben kann. 5 Beispiel Wir k¨onnen jetzt eine L¨osung des Eingangsbeispiels abgeben. Die Anzahl x der Soldaten, die die Schlacht u¨ berlebt haben, muss drei Kongruenzen erf¨ullen: x ≡ 13 (mod 23), x ≡ 14 (mod 29), x ≡ 15 (mod 34) .

Da R kommutativ ist, ist auch 1 = xa, also a ∈ R× . Nach (b) ist umgekehrt auch a | 1, falls a ∈ R× ist. Das beweist (f). 4 Proposition F¨ur a, b ∈ R sind a¨ quivalent: (i) a | b und b | a; (ii) b = ua f¨ur ein u ∈ R× ; (iii) (a) = (b). ¨ Beweis. 1. (i)⇒(ii): Ist a | b und b | a, so existieren x, y ∈ R mit b = ax und a = by. Dann ist also a = axy und a(1 − xy) = 0. Im Fall a = 0 ist auch b = 0 und somit b = 1a. Im Fall a = 0 ist 1 − xy = 0, da R nullteilerfrei ist. h. x, y ∈ R× . (ii)⇒(iii): Ist u ∈ R× mit b = ua, so ist (b) = bR = uaR = auR ⊆ (a).

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